1.一类分数阶多机械臂系统协调跟踪控制方法，针对固定拓扑和切换拓扑结构下分数阶多机械臂系统的协调跟踪控制，其特征在于：包括以下步骤：步骤1：引入Caputo分数阶，根据由一个领导者和n个跟随机械臂组成的分数阶多机械臂系统，确定分数阶多机械臂系统的模型及其参数；

步骤1.1确定领导者的分数阶状态方程，如式(1)所示：

4×4

其中， 表示Caputo分数阶微分符号，0＜α＜1；A∈R 表示系统的状态矩阵；x0(t)∈

4 4

R表示领导者的状态，f(t,x0(t))∈R 是满足Lipschitz条件的非线性光滑函数，C＝diag{ci},i＝1,2,···,n，ci为在(0,1)上随机取值；

步骤1.2确定跟随者的分数阶状态方程，如式(2)所示：

4×4 4 4

其中，A∈R 、B∈R 分别为系统的状态矩阵、输入矩阵，xi(t)∈R 分别表示第i个跟随4

者的状态，ui(t)∈R表示系统控制输入，f(t,xi(t))∈R 是满足Lipschitz条件的非线性光滑函数；

步骤2：根据分数阶多机械臂系统的模型及其参数，确定分数阶多机械臂系统的拓扑结构；

由n个机械臂组成的分数阶系统通信拓扑图由无向图 来描述,其中V＝(V1,V2,···,Vn)为节点集， 为边集，无向边Eij＝(Vj,Vi)∈E表示i向j传输信息；A＝n×n[aij]∈R 为邻接矩阵；

假设其主对角线元素aii＝0,i＝1,2,···,n，如果aij≠0，则称机械臂j为机械臂i的n×n邻居；当(Vi,Vj)∈E时，aij＝1；反之aij＝0；度矩阵D∈R 定义为D＝diag{di}，n×nLaplace矩阵L∈R 定义为L＝D‑A，其中 且具体表示形式如式(3)所示：

切换拓扑由一个离散的切换规则和多个子系统构成，图 的拓扑结构会随着时间的推移而变化，在分析时兼顾系统拓扑连接图的集合 中的所有可能情况，其中，p表示对图 中所有可能情况的索引，Θ表示包含所有图 的有限的索引集，在t时刻，分数阶多机械臂系统的切换拓扑结构记为 σ(t):[0,+∞)→Θ为分段常数的切换信号，其中σ(t)在有限时间段内的切换次数是有限的；

步骤3：采用一种分数阶多机械臂系统的分布式协调跟踪控制协议，基于线性矩阵不等式来求取控制协议中的待设计参数耦合增益、控制增益矩阵，并给出相应的一致性判别准则；

分布式协调跟踪控制协议如式(4)所示：

4 4 1×4

其中，xi(t)∈R分别表示第i个跟随者的状态，x0(t)∈R 表示领导者的状态，K∈R 为系统的控制反馈增益矩阵，gi为加权增益；

分布式协调跟踪控制协议具体过程如下：

步骤3.1定义分数阶多机械臂系统的状态跟踪误差为ei(t)，如式(5)所示：ei(t)＝xi(t)‑x0(t),i∈1,2,···,n    (5)步骤3.2定义满足Lipschitz条件的非线性光滑函数为f(t,xi(t))、f(t,x0(t))，在任意n时间t，都存在常数δ＞0，使任意的xi(t),x0(t)∈R均满足下式(6)：||f(t,xi(t))‑f(t,x0(t))||≤δ||(xi(t)‑x0(t))||,i∈1,2,···,n   (6)其中，δ为Lipschitz常数；

步骤3.3定义任意的非线性领导跟随者的状态满足下式(7)，结合式(1)‑(6)，得到系统状态跟踪误差的局部动态方程，如式(8)所示：

4×4 4

其中，A∈R 、B∈R分别为系统的状态矩阵、输入矩阵，C＝diag{ci},i＝1,2,···,n，ci为在(0,1)上随机取值；aij表示机械臂i与机械臂j之间的信息交互，如果存在信息交互，则aij＝1；反之aij＝0；

步骤3.4从分布式全局的角度出发，定义如下的全局变量：T T T T

e(t)＝[e1(t),e2(t),···,en(t)]T T T T

f(t,e(t))＝[f(t,e1(t)),f(t,e2(t)),···,f(t,en(t))]结合Kronecker积，得到系统状态跟踪误差的全局动态方程，如式(9)所示：其中，In表示n阶单位矩阵；H＝L+C+G，L是关于邻接矩阵A所对应的Laplace矩阵，即L＝D‑A；G＝diag{gi},i＝1,2,···,n表示跟随者与领导者之间的通信矩阵；

步骤4：固定拓扑和切换拓扑结构下获取分数阶多机械臂系统实现分布式一致性控制的充分条件，确保原分数阶多机械臂系统能够实现领导跟随分布式协调跟踪目标的一致性；

由一个领导者和五个已线性化的跟随机械臂所构成的固定拓扑结构下分数阶多机械臂系统，验证分数阶多机械臂系统在所采用的控制协议的作用下所有跟随机械臂的电机角位移、电机角速度、连杆角位移、连杆角速度四个状态分量均能够渐近跟踪到领导者的状态；分数阶多机械臂系统实现分布式一致性控制的充分性条件为：

4×4

存在一个对称正定矩阵P∈R 以及常数 β＞0,m＞0满足下式：其中，δ为Lipschitz常数；m为耦合增益，Remin{λ(H)}为矩阵H＝L+C+G所有特征值的最小值；分数阶多机械臂系统的控制反馈增益矩阵其假设内容如下：

对于非线性光滑函数f(t,xi(t))、f(t,x0(t))，在任意时间t，都存在常数δ＞0，使任意n的xi(t),x0(t)∈R均满足下式：

||f(t,xi(t))‑f(t,x0(t))||≤δ||(xi(t)‑x0(t))||,i∈1,2,···,n通过计算得出对称正定矩阵P以及常数 β,m，保证固定拓扑结构下分数阶多机械臂系统在分布式协调跟踪控制协议的作用下能够实现领导跟随一致性；

根据切换拓扑结构的情形，重新定义表征通信切换拓扑 的Laplace矩阵为Lσ(t)，领导者和跟随者之间的通信矩阵为Gσ(t)，随机的常数矩阵为Cσ(t)，并将式(9)中的系统状态跟踪误差的全局动态方程改写为：其中，Hσ(t)＝Lσ(t)+Cσ(t)+Gσ(t)；

根据由一个领导者和四个已线性化的跟随机械臂所构成的切换拓扑结构下分数阶多机械臂系统，验证分数阶多机械臂系统在所采用的控制协议的作用下所有跟随机械臂的电机角位移、电机角速度、连杆角位移、连杆角速度四个状态分量均能够渐近跟踪到领导者的状态；分数阶多机械臂系统实现分布式一致性控制的充分性条件为：

4×4 4×4

存在一个对称正定矩阵P∈R 、由联合连通图 决定的正定矩阵Hσ(t)∈R以及常数 β＞0,m＞0满足下式：

其中，Remin{λ(Hσ(t))}为正定矩阵Hσ(t)＝Lσ(t)+Cσ(t)+Gσ(t)所有特征值的最小值；分数阶多机械臂系统的控制反馈增益矩阵其假设内容如下：

(1)每一个非空时间间隔[tk,tk+1),k∈N均可分割成多个不重叠的非空子时间间隔，即并满足下式：

0≤h≤mk‑1

+

其中，τ＞0, mk∈N ,h∈N；

(2)在每一个非空子时间间隔 中，分数阶多机械臂系统的通信拓扑结构 保持固定，且部分或所有的图 不连通，0≤h≤mk‑1且h∈N；

(3)分数阶多机械臂系统的通信拓扑结构 在每一个非空时间间隔[tk,tk+1),k∈N内是联合连通的；

通过计算得出对称正定矩阵P以及常数 β,m，保证切换拓扑结构下分数阶多机械臂系统在分布式协调跟踪控制协议的作用下能够实现领导跟随一致性。