1.基于Mittag‑Leffler稳定性的自适应同步方法，其特征是在于，包括以下步骤：(1)自适应同步混沌问题描述

驱动系统为分数阶混沌系统，形式如下：

其中，x1，x2，x3和x4为状态变量，q是分数阶数，0＜q＜1，a是未知参数，由于混沌系统为耗散系统，a＞0；响应系统为分数阶混沌系统，形式如下：其中，y1，y2，y3和y4为状态变量，q是分数阶数，0＜q＜1，a是未知参数，由于混沌系统为耗散系统，a＞0；

* n

状态变量x从某个初值出发并在确定的参数a 作用下自由演化，在R 中得到一条轨道O(x)，称为期望轨道，产生该轨道的给定系统式(i)为驱动系统，混沌自适应控制同步方法就是对系统式(ii)的参数a引进一种控制机制，使系统式(ii)从任意初值出发的轨道O(y)跟随响应系统的轨道O(x)演化；若有 成立，则称驱动系统与响应系统实现了同步；

(2)将混沌驱动系统(i)和混沌响应系统(ii)的状态信息量做差，求得分数阶误差系统e1，e2，e3，e4，形式为：(3)在分数阶误差系统e1，e2，e3，e4中，分别加入v1(t)、v2(t)、v3(t)、v4(t)控制器，其形式为：(4)设计v1(t)、v2(t)、v3(t)、v4(t)自适应率控制器，其形式为：其中，参数 是对参数a的估计，且估计参数的自适应律为：(5)根据Mittag‑Leffler稳定性理论，对误差系统(iv)构造Lyapunov控制函数，利用Caputo导数算子的性质，得到Lyapunov函数非负，再利用Mittag‑Leffler稳定性理论得到误差系统(iv)有平衡点e＝0和 从而分数阶误差系统e1，e2，e3，e4是全局渐近稳定的，混沌驱动系统(i)与混沌响应系统(ii)同步；

(5)中，(a)构造Lyapunov控制函数：T

其中e＝[e1,e2,e3,e4]， 参数 是未知参数a的估计值；

(b)引理1：Caputo导数算子的性质：

若x(t)∈R为连续可微函数，则对于任意的t≥b，有以下关系式成立：(c)根据引理1，Lyapunov函数(viii)的导数为：(d)引理2：根据Mittag‑Leffler稳定性理论：记非线性分数阶动力系统的平衡点为xeq＝0，D为包含远点的区域，V(t,x(t)):[0,∞)+×D→R为连续可微函数且满足：

式中，γ(·)为K类函数，x∈D且0＜α＜1，则平衡点xeq＝0是全局稳定的；

q

(e)由于a＞0，又根据引理2，误差系统(iv)有平衡点e＝0和 D V≤0，即得出分数阶误差系统e1，e2，e3，e4是全局渐近稳定的，含有不确定参数的混沌驱动系统(i)与混沌响应系统(ii)同步；

步骤(1)中，采用Caputo定义，具体为：

式中C表示此定义方式为Caputo分数阶定义，q为微分算子的阶次，n为大于q的最小整数，且n‑1＜q＜n，t，a分别为定积分的上下限，Γ(·)为Gamma函数。