1.小车倒立摆系统的有限时间解耦控制方法，包含以下步骤：步骤1，建立如式(1)所示四阶的小车倒立摆系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间以及相关控制参数；

其中，x＝[x1,x2,x3,x4]T是状态向量；a1(x,t)，a2(x,t)≠0是未知非线性函数；c1(x,t)，c2(x,t)为以下非线性函数：

d1(t)和d2(t)表示外部干扰，并且，|d1(t)|≤D1(t)，|d2(t)|≤D2(t)；v1(t)，v2(t)为饱和函数输出值，表示为：

其中，u(t)∈R是实际控制信号；vmax为饱和函数宽度参数；

步骤2，将系统中的饱和函数近似为一个简单的时变系统，推导出带有饱和函数的系统模型；

2.1将饱和函数近似为一双曲正切函数，定义为：

然后，sat(u)被定义为：sat(u)＝g(u)+d(u)   (6)

2.2根据微分中值定理，可得g(u)＝g(u0)+g′(u)×(u-u0)   (7)其中，g′(u)为g(u)在u处的一阶导数；

因此，当取u0＝0时

g(u)＝g′(u)×u   (8)将式(8)代入式(6)得：

2.3将简化后的饱和函数式(9)代入式(1)可得：

其中，x1(t)是摆杆角位移，x2(t)是摆杆角速度；x3(t)是小车位移，x4(t)是小车速度；xT＝[x1,x2,x3,x4] 为输入向量；f1(x,t)＝a1(x,t)+c1(x,t)d(u)和f2(x,t)＝a2(x,t)+c2(x,t)d(u)是未知非线性函数；b1(x,t)＝c1(x,t)×g'(u1)，b2(x,t)＝c2(x,t)×g'(u2)；

步骤3，将式(10)表示的小车倒立摆系统划分为两个二阶子系统，计算控制系统的跟踪误差、非奇异终端滑模面及其一阶导数；

3.1将式(10)表示的小车倒立摆系统划分为两个二阶子系统

3.2定义如式(13)和(14)所示非线性滑模面：

其中，λ1和λ2是正常数；z是一个中间变量定义为z＝sat(S2/φz)zu，0＜zu＜1，φz是S2的界； p1，q1，p2和q2是正奇数满足p1＞q1和p2＞q2；因为(x1-z)＜0和x3＜0，分数γ1和γ2使得 和 因此，不会产生奇异值问题；

3.3对式(13)进行微分，可得

为使系统在有限时间内趋于稳定，需要满足以下条件

其中，0＜ρ＜1,k1＞0并且k2＞0；

根据有限时间稳定性定理可得，平衡点为x1＝z并且x3＝0；

步骤4，针对式(10)表示的小车倒立摆系统，选择神经网络逼近未知函数，并根据系统跟踪误差、非奇异终端滑模面，设计神经网络有限时间解耦控制器，更新神经网络权值矩阵；

4.1将 和式(16)代入式(15)，解得控制信号u1(t)的表达式为

4.2设计神经网络逼近未知函数 则有

其中，其中W为理想权重，φ(X)为神经网络基函数，X为神经网络输入向量，ε表示神经网络逼近误差；φ(x)取为以下函数：

其中，a，b，c和d均为正常数；

将式(18)和式(19)代入式(17)，可得

其中，为理想权重W的估计值，为自适应控制参数，δ为正常数；

其中，εN为一个正常数，表示神经网络逼近误差的上限；

4.3设计u2(t)＝u1(t)，则式(10)可转化为

此时，摆杆与小车之间已解耦；

4.4设计神经网络权重和自适应控制参数的更新律为：

其中，KC一个正常数；

其中，vμ一个正常数；

步骤5，设计李雅普诺夫函数 其中，M为一正定对称矩阵，则可以证明S1趋向于零，即x1趋向于z；同时，式(13)中，z是一个有界衰减函数，根据以上设计可得，当S2＝0时，z＝0，x3＝0；因此，可以证明闭环控制系统的稳定性。